LA CIRCUNFERENCIA COMO UNA CÓNICA

En geometría, se denomina lugar geométrico a todos los puntos del plano que cumplen cierta condición.

Ahora, vamos a estudiar las cónicas como lugares geométricos.

Cónicas

Las cónicas son figuras geométricas que pueden definirse como lugares geométricos en el plano. A continuación, verás las cuatro más importantes. Al final, comprenderás cómo las cónicas pueden obtenerse también a partir del corte de un plano con un cono doble. Esto es lo que se denomina secciones cónicas.

El nombre de cónica proviene de que cada una de estas curvas es el resultado de cortar (o intersecar) un cono con un plano. Dependiendo de la inclinación de dicho plano respecto al cono, el resultado será una curva u otra. Este hecho se puede apreciar de manera muy intuitiva en la siguiente imagen.

Un Poco de Historia:

El estudio de las cónicas tiene su origen en el libro de Apolonio de Perga, Cónicas, en el cual se estudian las figuras que pueden obtenerse al cortar un cono cualquiera por diversos planos. Previamente a este trabajo existían estudios elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares a las generatrices de un cono, obteniéndose elipses, parábolas o hipérbolas según que el ángulo superior del cono fuese agudo, recto u obtuso, respectivamente. Si bien no disponía de la geometría analítica todavía, Apolonio hace un tratamiento de las mismas que se aproxima mucho a aquélla. Los resultados obtenidos por Apolonio fueron los únicos que existieron hasta que Fermat y Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la geometría analítica, retomaron el problema llegando a su casi total estudio, haciendo siempre la salvedad de que no manejaban coordenadas negativas, con las restricciones que esto impone.

La importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en situaciones reales:

La primera ley de Kepler sobre el movimiento de los planetas dice que éstos siguen órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. Es muy posible que Newton no hubiese podido descubrir su famosa ley de la gravitación universal de no haber conocido ampliamente la geometría de las elipses.

La órbita que sigue un objeto dentro de un campo gravitacional constante es una parábola. Así, la línea que describe cualquier móvil que es lanzado con una cierta velocidad inicial, que no sea vertical, es una parábola.

Esto no es realmente exacto, ya que la gravedad no es constante: depende de la distancia del punto al centro de la Tierra. En realidad la curva que describe el móvil (si se ignora el rozamiento del aire) es una elipse que tiene uno de sus focos en el centro de la Tierra.

TIPOS DE CÓNICAS

Circunferencia

La circunferencia es la cónica más conocida, está formada por un centro y un radio.

Se llama circunferencia al lugar geométrico en el plano de los puntos que están a una distancia fija de un punto llamado centro. A la distancia se le denomina radio.

Elipse:

nace cuando el corte es realizado con una angulación, que es importante que sea lo suficientemente pequeña como para que el plano corte por completo al cono y se obtenga como resultado una curva cerrada. Su tamaño dependerá de la inclinación: a mayor inclinación, mayor será la elipse.

Parábola:

cuando el corte se realiza con suficiente angulación como para que el exterior de la cónica no se interseque por completo, si no que haya una parte de ese plano que se pierda en la zona interior del cono y no lo llegue a cortar. Es decir, el resultado es una curva abierta.

Hipérbola:

se origina cuando el plano intersecante se encuentra paralelo al eje vertical del cono, y se obtiene como resultado dos curvas abiertas y simétricas. Cuanto más cercano al origen sea el corte, más próximas estarán las dos curvas, y viceversa.

LA CIRCUNFERENCIA COMO UNA CÓNICA

¿Que es una circunferencia?

La circunferencia es la línea que rodea un círculo. Es el límite exterior o perímetro de un círculo. El perímetro de una circunferencia es la longitud que tiene dicha línea.

De una manera más técnica se define como una figura geométrica formada por el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto común llamado centro, y la distancia constante desde el centro se llama radio.

Etimológicamente, deriva del latín “circumferentia” que quiere decir “contorno de una superficie”.

Propiedades de las circunferencia:

Entre las principales características de esta figura destacan:

La distancia existente entre el centro de esta y la línea que la conforman es la misma.
Posee un número infinito de ejes de simetría. Se considera la línea cerrada de mayor simetría.
Se encuentra estrechamente relacionada con diferentes tipos de curvas específicas como: espirales, hipérbolas, parábolas, óvalos, elipses, ovoides, entre otras.
Su medida es un poco mayor al triple de su diámetro.
Se dice que son congruentes si tienen radios iguales.
La cuerda más larga es el diámetro.
Cuerdas iguales subtienden ángulos iguales en el centro.
El radio trazado de forma perpendicular a la cuerda biseca la cuerda.
Puede circunscribir un rectángulo, trapecio, triángulo, cuadrado, cometa.
Las cuerdas que equidistan del centro tienen la misma longitud.
La distancia perpendicular desde el centro disminuye cuando la longitud de la cuerda aumenta.
Si las tangentes se dibujan al final del diámetro, son paralelas entre sí.
Una circunferencia inscrita es aquella que está dentro de un polígono regular, donde dicha circunferencia es tangente a sus lados.
Una circunferencia circunscrita es aquella que es exterior al polígono y el perímetro de la circunferencia toca cada vértice del polígono.

Este término suele confundirse con la palabra círculo. Sin embargo, es importante señalar que no significan lo mismo a pesar de guardar relación. Las principales diferencias entre estas dos palabras son:

Elementos de la circunferencia:

Centro: Es el punto en la parte interna de la figura que se encuentra a la misma distancia de todos los puntos que forman parte de la línea que da forma a esta figura, es decir, es el punto que equidista a todos los puntos de la curva cerrada.

Radio: El radio de una circunferencia es la distancia desde el centro hasta cualquier punto de la línea que forma esta figura geométrica. En otras palabras, es la línea que une el centro con cualquier punto perteneciente a la curva.

Diámetro: Es la fracción de recta que atraviesa la circunferencia y la divide en dos partes iguales. El diámetro representa la distancia más grande que se puede determinar entre los puntos que la conforman. Existen infinitos diámetros y todos pasan por el centro de la figura.

Cuerda: Es la fracción de recta que une dos puntos (cualesquiera de ellos) de la circunferencia. Sus extremos son a su vez los extremos de un arco. Vale la pena mencionar que una cuerda subtiende dos arcos, uno más pequeño que el otro (a menos que sea el diámetro donde los dos arcos son iguales).

Arco: El arco de la circunferencia es la parte comprendida entre dos puntos de esta figura. Es el segmento producto del trazado de una cuerda. Un arco se compone de 3 puntos: el centro y los 2 lugares donde la cuerda toca la circunferencia.

Aplicaciones de la circunferencia en la vida cotidiana:

Circunferencia en la música: Se utilizan técnicas circunferenciales para muchas cosas. Por ejemplo; Los Cds, piezas ordinarias en la música actual, son una placa circular con un borde que termina siendo una circunferencia.
Al centro se observa un orificio redondo que sirve para tomar el Cd y para que la radio lo reproduzca. Estas piezas de la electrónica requieren de mucha precisión para su correcto funcionamiento. Por lo tanto para su fabricación se usan las técnicas del radio y el diámetro.

Circunferencia en las armas: Se habla normalmente de pistolas calibre de 6.35 mm, 7.65 mm, 9 mm, etc. Esto no es solo un "nombre", sino que esto se refiere al tamaño del agujero (cañón) por donde salen los proyectiles (balas) del arma, usando el tamaño del diámetro y usando una medida milimetrada para lograrlo.

Circunferencia en el transporte: En el transporte también podemos apreciar la presencia de la Circunferencia, de hecho, donde se puede notar y ejemplificar mejor es en la Bicicleta, un conjunto de tubos metálicos con dos ruedas que aplican la geometría perfectamente: Las ruedas están hechas de un “arco” . La mejor parte de esto es que la rueda se afirma desde el centro y desde este salen un montón de alambres delgados llamados “rayos” y estos son radios que mantienen la forma circunferencial de la rueda perfectamente. Otra cosa es que el tamaño de la rueda es medido en Aro 24, 26, etc. Y esto se hace usando el diámetro.

La Circunferencia en el Sistema Horario: En la antigüedad todos los relojes eran de una forma circunferencial, ahora están los relojes digitales y mucho más. El reloj consiste en una placa redonda (circunferencial) que esta dividida en 12 partes iguales, al centro tiene un agujero por donde sale el sistema del horario, minutero y segundero. Bueno evidentemente dentro del reloj se encuentra todo un sistema de maquinarias con engranajes y demases, pero me centraré en otros aspectos. Para dividir la circunferencia en 12 partes exactamente iguales, que a futuro podrán dar una medición de hora perfecta, es necesario usar criterios de ángulos de la circunferencia.

La Circunferencia en los Deportes: Quizás parezca que en la única parte en donde podría aplicarse la Circunferencia en los deportes sería en los balones... Pero no, si solo nos detenemos a pensar un poco nos daremos cuenta que muchas de las canchas o lugares en donde se practican deportes tienen marcas geométricas y circunferencias que determinan situaciones reglamentarias, etc. Los campos de Fútbol, las canchas de Básquetbol, los campos de Fútbol Americano y en muchas más.

ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA:

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos equidistantes a un punto fijo llamado centro. Es decir, todos los puntos de la circunferencia están a la misma distancia de su centro. Esta distancia, llamada radio de la circunferencia, se denota por la letra r en la siguiente gráfica: se trata de una circunferencia de radio r con centro en el origen -el punto de coordenadas (0,0)- del plano cartesiano.

Observa el triángulo formado por los puntos (0,0),(x,0) y P (x,y). Se trata de un triángulo rectángulo. Su hipotenusa mide r, su cateto horizontal mide x y el cateto vertical mide y. Sabemos que satisface el Teorema de Pitágoras, entonces x^2 + y^2 = r^2

Ecuación ordinaria: Si el centro de la circunferencia no coincide con el origen del plano, digamos que el centro es el punto C(h, k), la ecuación toma la siguiente forma: (x−h)^2+(y−k)^2= r^2. Nuevamente, aquí r es el radio de la circunferencia.

Ecuación general: otra forma de representar la ecuación de una circunferencia de centro C (h, k) y radio r. Esta se obtiene desarrollando los binomios en la ecuación ordinaria:

Para simplificar esta expresion, se introducen las siguientes literales:

sean D = -2h, E = -2k, F = h^2 + k^2 - r^2.

Entonces la ecuación queda como:

Ejercicios resueltos:

Escribir la ecuación canónica y general de la circunferencia de centro (3,4) y radio 2 .

Solución:

1. Sustituir los datos en la ecuación canónica:

donde, el centro son las coordenadas C(h,k) y r es el radio

ya obtuvimos la ecuación canónica, ahora para obtener la ecuación general efectuamos los binomios al cuadrado e igualamos a cero, asi:

2- Dada la circunferencia de ecuación, hallar el centro y el radio.

1. convertiremos la ecuación general a ecuación canónica para encontrar las coordenadas C(h,k) y r, conociendo que la ecuación canónica es la siguente: